Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.2. Một số định lí về giới hạn

1.3. Tổng của CSN lùi vô hạn

1.4. Giới hạn vô cực

 

Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

 

\(\lim {u_n}\)	Dấu của \(l\)	\(\lim ({u_n}{v_n})\)
\( + \infty \) \( + \infty \) \( – \infty \) \( – \infty \)	\( + \) \( – \) \( + \) \( – \)	\( + \infty \) \( – \infty \) \( – \infty \) \( + \infty \)

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

 

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}} = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}\).

 

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có  \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3\)

 

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right) – \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} – n} \right)\)

            \( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} – \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

           \( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1}} – \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 5:

Tìm  giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 – \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:
  

  Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

  • A.
    \(\frac{1}{n}\)
  • B.
    \(\frac{1}{{\sqrt n }}\)
  • C.
    \(\frac{{n + 1}}{n}\)
  • D.
    \(\frac{{\sin n}}{{\sqrt n }}\)

• Câu 2:
  

  Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

  • A.
    \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)
  • B.
    \({\left( { – \frac{4}{3}} \right)^n}\)
  • C.
    \({\left( { – \frac{5}{3}} \right)^n}\)
  • D.
    \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)

• Câu 3:
  

  Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

  • A.
    \({\left( {0,999} \right)^n}\)
  • B.
    \({\left( { – 1,01} \right)^n}\)
  • C.
    \({\left( {1,01} \right)^n}\)
  • D.
    \({\left( { – 2,001} \right)^n}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Trường Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội sẽ sớm trả lời cho các em.