Lớp 12

Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

2.1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

  • \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
  • \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)

2.2. Nhận xét 

  • Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
  • Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\):
    • \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        
    •  =  + ‘     
    • \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
    • \(\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|\)     
    • \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\)                                                                                                                                

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

  • \(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
  • \({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

  • \({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i – \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
  • \(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} – \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 – i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết \((2z – i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 – i) = 2 – 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a – bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi – 1)(1 + i) + (a – bi + 1)(1 – i) = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a – 3b + (a + b – 2)i = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b – 2 = – 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ – 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z – 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z – 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

4. Luyện tập Bài 2 Chương 4 Toán 12

Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

4.1 Trắc nghiệm về Cộng, trừ và nhân số phức

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    • A.
      Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo
    • B.
      Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo
    • C.
      Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\)
    • D.
      Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
  • Câu 2:

    Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m – 2} \right) + \left( {{m^2} – 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.

    • A.
      m=1
    • B.
      m=2
    • C.
      m=-2
    • D.
       \(m = \pm 1\)
  • Câu 3:

    Cho số phức z, biết \(z – \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 – 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.

    • A.
      -1
    • B.
      -2
    • C.
      1
    • D.
      2

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Cộng, trừ và nhân số phức

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

5. Hỏi đáp về Bài 2 Chương 4 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Trường Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội sẽ sớm trả lời cho các em. 

Đăng bởi: Trường Cao Đẳng Sư Phạm Hà Nội

Chuyên mục: Giáo Dục Lớp 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!